通径为什么最短

健康 2019-12-26 3个回答

为什么椭圆通径过焦点的弦最短?

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率·(A到准线的距离+B到准线的距离)

= 2·离心率·AB中点到准线的距离.

设AB中点为M, 若FA ≥ FB, 则F在线段BM上.

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离, 可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离.

而AB为通径时, M到准线的距离 = F到准线的距离.

此时M到准线的距离取到最小值, 于是AB长度也取得最小值.

为什么椭圆通径过焦点的弦最短?

请问如何证明抛物线中焦点弦中通径最短,谢谢

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如何证明过椭圆焦点的弦中以通径长最短?

一、几何证明法:

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)

= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。

设AB中点为M,若FA ≥ FB,则F在线段BM上。

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离,可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。

而AB为通径时,M到准线的距离 = F到准线的距离。

此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。

二、代数方程法:

设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1

过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在)。

然后方程联立,利用弦长公式可整理成关于m的函数式。

从中求出当且仅当m=0时,弦长最短。

扩展资料

椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处:抛物线和双曲线,两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形,除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点,使得曲线上的每个点的距离与给定点(称为焦点)的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行(称为directrix)是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

求椭圆标准方程的两个基本方法:

定义法:关键在于充分利用平面几何知识,并注意画图分析,充分挖掘问题中所隐含的几何属性,从而确定动点是否满足椭圆的定义。

待定系数法:当已知动点轨迹为椭圆时可以使用待定系数法,其关键是确定椭圆焦点的位置设出椭圆方程,代入已知条件求得椭圆方程中的系数。

参考资料-

百度百科-椭圆

如何证明过椭圆焦点的弦中以通径长最短?

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